Archimedes bevis på formler för områden och volymer sätter standarden för en strikt behandling av gränser fram till modern tid. Men hur han upptäckte dessa resultat förblev ett mysterium fram till 1906, då en kopia av hans förlorade avhandling Metoden upptäcktes i Konstantinopel (nu Istanbul, Turkiet).
Det visade sig att Archimedes hade använt en metod som senare kallades Cavalieris princip, som innebär att skiva fasta ämnen (vars volymer ska jämföras) med en familj av parallella plan. I synnerhet, om varje plan i familjen skär två fasta ämnen i tvärsnitt med lika area, måste de två fasta ämnena ha lika volym ( se figur). Man kan tänka sig det fasta som en summa av sådana sektioner, kallade odelbara. Archimedes utarbetade faktiskt denna princip, och jämförde inte bara motsvarande sektioner i området utan också "balanserade" dem enligt hävstångslagen.
Idén om skivning med parallella plan återupptäcktes i Kina, och ett enklare bevis på att en sfärs volym är två tredjedelar av volymen på dess cirkulationscylinder, med användning av enbart områden, gav Liu Hui år 263. Det ultimata beviset dessa rader gavs av den italienska matematikern Bonaventura Cavalieri i hans Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; ”En viss metod för utveckling av en ny geometri av kontinuerliga indivisibles”). Cavalieri observerade vad som händer när en halvklot och dess cirkulationscylinder skärs av familjen av plan parallellt med cylinderns botten: varje skivformad sektion av sfären har samma area som motsvarande ringformade sektion av komplementet av en kon i cylindern ( sefigur ). Formeln för sfärens volym följer sedan omedelbart från Eudoxus sats om att volymen på en kon är en tredjedel av volymen för dess cirkulationscylinder.
