Incommensurables

Geometrarna omedelbart efter Pythagoras (c. 580 - c. 500 f.Kr.) delade den osunna intuitionen att två längder är ”commensurable” (det vill säga mätbara) med helmultiplar av någon gemensam enhet. För att uttrycka det på ett annat sätt trodde de att hela (eller räknande) siffror och deras förhållanden (rationella tal eller fraktioner) var tillräckliga för att beskriva vilken mängd som helst. Geometri kopplas därför lätt med en pythagorisk tro, vars viktigaste princip var att verkligheten i huvudsak är matematisk och baserad på heltal. Av särskild relevans var manipulationen av förhållanden, som först ägde rum i enlighet med regler som bekräftades av aritmetik. Upptäckten av surds (kvadratrötterna av tal som inte är kvadrater) undergrävde därför pythagoreerna: kunde inte längre a : b =c : d (där a och b , säger, är relativt primära) antyder att a = n c eller b = n d , där n är något heltal. Enligt legenden dödades den pythagoreiska upptäckaren av obetydliga mängder, nu känd som irrationella tal, av sina bröder. Men det är svårt att hålla en hemlighet i vetenskapen.

De forntida grekerna hade inte algebra eller hindu-arabiska siffror. Grekisk geometri baserades nästan uteslutande på logiskt resonemang med abstrakta diagram. Upptäckten av obestämbara saker störde därför mer än Pythagoras uppfattning om världen; det ledde till en återvändsgränd i matematiskt resonemang - en återvändsgränd som kvarstod tills geometrar från Platons tid införde en definition av proportion (förhållande) som stod för oföränderliga. De viktigaste inblandade matematikerna var athenian Theaetetus (ca 417–369 f.Kr.), till vilken Platon ägnade en hel dialog, och den stora Eudoxus av Cnidus (ca 390 – ca 340 f.Kr.), vars behandling av obetydliga överlever som bok V av Euclids element .

Euclid gav följande enkla bevis. En kvadrat med sidor med längd 1 enhet måste enligt Pythagoras sats ha en diagonal d som uppfyller ekvationen d 2 = 12 + 12 = 2. Låt det antas, i enlighet med Pythagoras förväntan, att diagonalen kan vara uttryckt som förhållandet mellan två heltal, säg p och q , och att p och q är relativt primära, med p > q — med andra ord att förhållandet har reducerats till sin enklaste form. Således p 2 / q 2 = 2. Sedan p 2 = 2 q 2, så pmåste vara ett jämnt tal, säg 2 r . Att infoga 2 r för p i den sista ekvationen och förenkla, vi får q 2 = 2 r 2, varifrån q också måste vara jämnt, vilket strider mot antagandet att p och q inte har någon gemensam faktor förutom enhet. Därför kan inget förhållande av heltal - det vill säga inget "rationellt tal" enligt grekisk terminologi - uttrycka kvadratroten på 2. Längder så att kvadraterna som bildas på dem inte är lika med kvadratantalet (t.ex. kvadratrot av √ 2 , Kvadratrot av √ 3, kvadratrot av √ 5, kvadratrot av √ 6, ...) kallades "irrationella tal."